Warum Vögel nicht betrunken werden sollten

von Svenja Fischer | 07.04.2022

Diese Redaktion besteht aus Studierenden. Und Studierende studieren. Oder besuchen Seminare. Oder schreiben Hausarbeiten. Und ab und zu kommt dabei auch etwas Sinnvolles zustande. Damit diese Perlen der wissenschaftlichen Hochkultur mit der Abgabe nicht im Nirvana verschwinden, werden wir hier ausgewählte Ergebnisse aus unserem eigenen Studium teilen.

Diese gekürzte Zusammenfassung basiert auf dem Vortrag und der Ausarbeitung zum Thema „Zufallswege“ aus dem Seminar „Simulation von Zufallszahlen des MSc. Biomathematik im SoSe 2021“.

Der Begriff „Zufallsweg“ (Irrfahrt, Irrweg, engl.: random walk) stammt aus einer im Jahr 1905 im Journal Nature geführten Konversation zwischen Karl Pearson und Lord Rayleigh. Pearson fragte nach einer Lösung für ein statistisches Problem: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nach n Wegstrecken, mit bestimmter Länge und beliebigen Winkeln zwischen diesen Strecken, wieder in der Nähe des Ausgangspunktes erscheint?
Lord Rayleigh konnte ihm bereits eine Woche später antworten, Pearson bedankte sich in der darauffolgenden Woche und resümierte:

Wir können aus der Lösung von Lord Rayleigh die folgende Lehre ziehen: In offenem Gelände ist der wahrscheinlichste Ort, an dem man einen Betrunkenen antrifft, der überhaupt noch auf seinen Beinen stehen kann, irgendwo in der Nähe seines Ausgangspunktes.

Ein Zufallsweg ist grundsätzlich ein mathematisches Modell, das die zufälligen Wege eines Teilchens im ein- oder mehrdimensionalen Raum beobachtet und verknüpft. Dieser stochastische Prozess besitzt unabhängig und identisch verteilte Zuwächse in diskreter Zeit. Das bedeutet, dass einzelne, gleich große Zeitschritte beobachtet werden und die Bewegungen des Teilchens nur vom aktuellen Zeitschritt abhängen.

Zur Veranschaulichung des Konzepts kann man sich einen betrunkenen Studenten, nennen wir ihn Moritz, vorstellen, der in der Innenstadt herumläuft. Im eindimensionalen Fall bewegt er sich nur auf der Langen Straße. Da Moritz so betrunken ist, weiß er nach jedem Schritt nicht mehr, in welche Richtung er gerade gelaufen ist und geht mal vor und mal zurück. Wir bleiben an dem Punkt, wo wir ihn getroffen haben, stehen und beobachten seinen Weg.

Um die Sache zu vereinfachen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Moritz einen Schritt nach vorne macht, genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit eines Schrittes nach hinten. Damit können wir den beobachten Zufallsweg symmetrisch nennen. In diesem Fall kann man zeigen, dass Moritz nach einer gewissen Zeitspanne wieder zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrt. Tatsächlich kommt er unendlich oft zurück, wenn eine unendliche Zeitspanne betrachtet wird. Aber da am nächsten Tag Vorlesungen sind, können wir ihn nicht so lange beobachten und wollen ihn irgendwann daran erinnern, dass er nach Hause gehen sollte, um wenigstens etwas Schlaf zu bekommen. Doch wann kommt Moritz das nächste Mal zu uns an seinen Ausgangspunkt zurück? Die Wahrscheinlichkeit, dass er in 100 Schritten mindestens einmal bei uns vorbeikommt, liegt bei 92%. Also wird das hoffentlich noch rechtzeitig klappen.

In einem zweiten Szenario treffen wir Moritz nicht auf der Langen Straße, sondern auf dem Marktplatz. Somit liegt ein zweidimensionaler Fall vor. Auch hier nehmen wir etwas vereinfachte Bedingungen an. Zusätzlich zu dem gleichmäßigen Laufen kann Moritz nur geradeaus, zurück oder im rechten Winkel nach links bzw. rechts abbiegen.

Und auch hier kann gezeigt werden, dass Moritz nach endlicher, aber möglicherweise sehr langer Zeit, wieder bei uns am Ausgangspunkt erscheint. Georg Pólya konnte 1921 zeigen, dass diese Eigenschaft des garantierten Zurückkehrens zum Ausgangspunkt nur für ein- und zweidimensionale symmetrische Zufallswege zutrifft. Ab der dritten Dimension gibt es Zufallswege, die für immer im Nirgendwo verschwinden.

Ein betrunkener Mensch findet nach Hause, aber ein betrunkener Vogel kann für immer verloren gehen.

Shizuo Kakutani

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